たぶん、教科書に載ってるとは思いますが……

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① 微分係数の定義

f ' (a) = lim {f (a + h) - f (a)} / h
                   h → 0


② 連続性の定義

lim f (x) = f (a)
x → a

が成り立つとき、関数 f (x) は x = a において連続であるという。

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(1)(2)に関しては微分係数の定義を利用しなくても解けるので
まずはそちら(分子の有理化)をどうぞ～


(3)は x = 0 における連続性を調べるので

lim f (x) = f (0)
x → 0

が成り立ってるかどうかを調べればいいのです。

仮定（問題文中という意味）で

f (0) = 0

は示されているので、早い話が

lim f (x) = 0 が成り立っているなら連続で、そうでなきゃ不連続だということです。
x → 0

この

lim f (x) = 0
x → 0

が成り立っているか否かの証明に、はさみうちの原理を利用します。

そもそも三角関数(sin, cos)の値域って、一般にどう書けましたっけ？

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